Exercício (1) de Cálculo – Integral – Substituição Trigonométrica

Exercício: Resolvendo uma integral, utilizando o método da substituição Trigonométrica.

Conhecimento Necessário: Métodos de integração: Substituição Trigonométrica e Integração por Partes.

Material de Apoio Necessário: Tabela de Integrais, Derivadas e Trigonometria (seção Downloads).

Exercício: Resolva a integral indefinida abaixo.

 

Esta integral é resolvida utilizando o étodo da substituição trigonométrica. De acordo com a tabela, vemos que, neste caso, a função é do tipo (a+x), onde o x será tangente de theta e o dx, secante^2 de theta. (estou famoso no exercício! hehe).

Temos que desenvolver a substituição trigonométrica, após isto, voltarmos a função para o x. Vamos iniciar este passo trabalhando com a substituição (e um bom conhecimento em trigonometria!):

O que fizemos até aqui? Seguindo a tabela, vimos qual era o x e o dx. Desenvolvemos a parte debaixo da equação, e o dx foi achado pela tabela. Após este passo, vamos calcular a equação, em theta, para depois voltarmos ao x.

Aqui, desenvolvemos a integral. Vamos deixar a constante fracionária de lado e nos concentrar na parte realmente difícil, a integral do cos^2 ! Iremos resolvê-la utilizando o método de integração por partes:

O que fizemos até aqui? Iniciamos a integração por partes. Depois, utilizamos uma propriedade trigonométrica: cos^2-1=sen^2. Daqui, iremos para o próximo passo: isolar o cos^2.

 

Com este resultado, podemos fazer as substituições necessárias. Não podemos esquecer a fração isolada no início do exercício: 1/216 vezes 1/2 encontrado agora nos dará a constante 1/432.

 

Pronto, encontramos a resposta!

Conclusão: Uau, exercício bem difícil! Mas é bem didático, pois utilizamos dois métodos de integração. Este é o tipo de exercício que vale a pena ser refeito por várias vezes: após o domínio deste exercício, os exercícios similares ficarão muito fáceis … este é realmente um osso duro de roer.