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julho 6, 2009

Exercício (2) de Cálculo – Integral Dupla

Filed under: Cálculo — mauromartins @ 6:03 pm
Tags: , ,

Descrição: Resolver uma integral dupla.

Conhecimento Necessário: Integração e derivação.

Material de Apoio Necessário: Tabela de Integrais, Derivadas e Trigonometria (seção Downloads).

Exercício: Resolva a integral dupla abaixo:

ex2 figura

 

 

Para 0 ≤ x ≤ 3 e 1 ≤ y ≤ 2.

 

 

1º Passo: Esta é uma integral dupla muito simples, boa para fins didáticos. Como nenhum dos dois limites são números, podemos escolher qual irá ser a integral interna a nosso critério. Eu escolhi o x como sendo a primeira integral, porque sou preguiçoso ;) . Na verdade, por ele ter um dos limites como 0, facilita para a segunda integral (se escolhêssemos o y, ficaria uma função subtraindo outra, aumentando o trabalho para a segunda integral). Vamos lá:

 

ex2 res passo1Legal, esta é a função que iremos trabalhar. Primeiro faremos a integral interna, em x, e depois a externa, em y. Muitos alunos têm um pouco de dificuldade aqui por causa das letras, mas é algo simples. A letra que não estiver sendo integrada age como uma constante, no caso 3xy, podemos isolar o 3y e trabalhar somente com o x. Vamos lá fazer esta parte:

Passo 2: Fazer a integração em x, como foi feito abaixo:

ex2 res passo2

Legal, com a parte em x pronta, podemos passar para o Passo 3, e final: Integrar em y!

ex2 res passo3

Exercício concluído!

Conclusão: Este exercício é muito simples, servindo somente como introdução a outros de integrais duplas. O maior segredo neste caso é: como escolher qual variável irá ser a primeira integral? Neste caso do problema é fácil: fica ao gosto do freguês. Eu prefiro colocar funções com limite 0 na parte interna. Nos próximos dias colocarei outros exemplos, mais complicados.

Um abraço a todos, e se alguém quiser colaborar, dar sugestões, etc. meu mail é eng.mauro.sergio.martins@gmail.com . Sempre que puder ajudar estarei aí!

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24 Comentários »

  1. Obridago gostei dos exercicios espero aprender muito sobre integrais duplas

    Um abraco

    Comentário por Francisco Junior — novembro 13, 2009 @ 8:33 am | Resposta

  2. Nossa mto obrigada, de todos que procurei essa foi a explicação mais fácil de entender.

    Comentário por Libni Neves — dezembro 4, 2009 @ 6:36 am | Resposta

  3. Caro colega, este exercício de integral dupla me ajudou bastante. Se tiver outros exemplos envie-me.

    Obrigado. Valdemar

    Comentário por Valdemar — dezembro 15, 2009 @ 5:34 am | Resposta

  4. muito bom, só gostaria de saber com mais detalhes como surgiu esse 4em y e tambem esse 63 em y.Essa resposta poderá muito me ajudar em meu curso de graduaçao. obrigado

    Comentário por andrade — março 11, 2010 @ 6:38 pm | Resposta

  5. mande por e-mail essa resporta

    Comentário por andrade — março 11, 2010 @ 6:40 pm | Resposta

  6. muito bom, só gostaria de saber com mais detalhes como surgiu esse 4em x e tambem esse 63 em y.Essa resposta poderá muito me ajudar em meu curso de graduaçao. obrigado.

    Comentário por andrade — março 11, 2010 @ 6:41 pm | Resposta

  7. bommmm

    Comentário por Evandro — abril 5, 2010 @ 1:18 am | Resposta

  8. If you are a real estate professional, be really careful in dealing with KoRes Corp. in Weston Florida. Tulio Rodriguez & Monica Cataluna-Shand are shysters and look for anyway to steal ones customers. They attempt to steal your client by requesting their contact information and later contact them behind your back to get them to deal with them directly.

    Comentário por zeptuncetle — maio 14, 2010 @ 1:06 pm | Resposta

  9. Surgiram da integral.

    Integral de y = (y^2) / 2, como y era y/2, fica y^2/4.
    O 63 surgiu da soma do 9 na fração. 9.4=36, 36+27=63.

    Comentário por mauromartins — agosto 14, 2010 @ 4:04 pm | Resposta

  10. blog excelente…
    fica fácil fácil entendenr as coisas!
    obrigada pela ajuda!!

    Comentário por fernanda — novembro 2, 2010 @ 10:31 pm | Resposta

  11. valeu e muito bom

    Comentário por fabricio — novembro 2, 2010 @ 10:59 pm | Resposta

  12. Didática muito boa! Valeu, me ajudou muito ;)

    Comentário por Hugo — novembro 23, 2010 @ 8:57 am | Resposta

  13. Muito bom!

    Comentário por Otávio — dezembro 14, 2010 @ 3:36 pm | Resposta

  14. Muito bom, tudo muito bem explicadinho!
    Tá aí um dos blogs que terá minha assiduidade!!
    Parabéns pela iniciativa de querer compartilhar seus conhecimentos!
    =D

    Comentário por Rafaela — junho 6, 2011 @ 11:56 pm | Resposta

  15. muito boa a explicação parabéns

    Comentário por J. Gomes — dezembro 15, 2011 @ 5:16 pm | Resposta

  16. nao entendi da onde saiu akele 4 ??????

    Comentário por Aline — maio 9, 2012 @ 11:50 pm | Resposta

  17. Para integral uma função deve conhecer ou depender ou começar num dos eixos Ox ou Oy

    Comentário por Afonso Kalufuilawoko — maio 28, 2012 @ 6:46 pm | Resposta

  18. Matematica é vida

    Comentário por Joaquim fernando cotovia — janeiro 5, 2013 @ 7:05 pm | Resposta

  19. Quero mais integrais

    Comentário por Wilson — abril 5, 2013 @ 9:26 pm | Resposta

  20. de onde surgiu o 9?

    Comentário por yukka — setembro 5, 2013 @ 10:36 pm | Resposta

  21. gostei muito espero que continua assim obrigada

    Comentário por jossi junior — outubro 13, 2013 @ 10:21 am | Resposta

  22. gostaria ver integrais mais complexos como xcos(xy)dxdy, com ln, euler e etc. Mas a introdução foi muito bom.

    Comentário por midian — outubro 30, 2013 @ 12:10 pm | Resposta

  23. amigo muito bom seu exercício mais nao intendi o 180/4 nao e 18/4 nao aguardo sua resposta
    se possivel voce esta disponibilizando mais exemplos .

    Comentário por renato — outubro 21, 2014 @ 4:38 pm | Resposta

  24. gostaria que respondesse e/ou dessa dicas de como resolver uma integral tripla de xyz² dxdydz, onde R={0<=x<=1; 0<=y<=2; 1<=z<=3}?

    Comentário por Francinaldo Rego Rocha — outubro 30, 2014 @ 3:38 pm | Resposta


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