Exercício (2) de Cálculo – Integral Dupla

Descrição: Resolver uma integral dupla.

Conhecimento Necessário: Integração e derivação.

Material de Apoio Necessário: Tabela de Integrais, Derivadas e Trigonometria (seção Downloads).

Exercício: Resolva a integral dupla abaixo:

 

 

Para 0 ≤ x ≤ 3 e 1 ≤ y ≤ 2.

 

 

1º Passo: Esta é uma integral dupla muito simples, boa para fins didáticos. Como nenhum dos dois limites são números, podemos escolher qual irá ser a integral interna a nosso critério. Eu escolhi o x como sendo a primeira integral, porque sou preguiçoso . Na verdade, por ele ter um dos limites como 0, facilita para a segunda integral (se escolhêssemos o y, ficaria uma função subtraindo outra, aumentando o trabalho para a segunda integral). Vamos lá:

 

Legal, esta é a função que iremos trabalhar. Primeiro faremos a integral interna, em x, e depois a externa, em y. Muitos alunos têm um pouco de dificuldade aqui por causa das letras, mas é algo simples. A letra que não estiver sendo integrada age como uma constante, no caso 3xy, podemos isolar o 3y e trabalhar somente com o x. Vamos lá fazer esta parte:

Passo 2: Fazer a integração em x, como foi feito abaixo:

Legal, com a parte em x pronta, podemos passar para o Passo 3, e final: Integrar em y!

Exercício concluído!

Conclusão: Este exercício é muito simples, servindo somente como introdução a outros de integrais duplas. O maior segredo neste caso é: como escolher qual variável irá ser a primeira integral? Neste caso do problema é fácil: fica ao gosto do freguês. Eu prefiro colocar funções com limite 0 na parte interna. Nos próximos dias colocarei outros exemplos, mais complicados.

Um abraço a todos, e se alguém quiser colaborar, dar sugestões, etc. meu mail é eng.mauro.sergio.martins@gmail.com . Sempre que puder ajudar estarei aí!

Exercício (1) de Cálculo – Integral – Substituição Trigonométrica

Exercício: Resolvendo uma integral, utilizando o método da substituição Trigonométrica.

Conhecimento Necessário: Métodos de integração: Substituição Trigonométrica e Integração por Partes.

Material de Apoio Necessário: Tabela de Integrais, Derivadas e Trigonometria (seção Downloads).

Exercício: Resolva a integral indefinida abaixo.

 

Esta integral é resolvida utilizando o étodo da substituição trigonométrica. De acordo com a tabela, vemos que, neste caso, a função é do tipo (a+x), onde o x será tangente de theta e o dx, secante^2 de theta. (estou famoso no exercício! hehe).

Temos que desenvolver a substituição trigonométrica, após isto, voltarmos a função para o x. Vamos iniciar este passo trabalhando com a substituição (e um bom conhecimento em trigonometria!):

O que fizemos até aqui? Seguindo a tabela, vimos qual era o x e o dx. Desenvolvemos a parte debaixo da equação, e o dx foi achado pela tabela. Após este passo, vamos calcular a equação, em theta, para depois voltarmos ao x.

Aqui, desenvolvemos a integral. Vamos deixar a constante fracionária de lado e nos concentrar na parte realmente difícil, a integral do cos^2 ! Iremos resolvê-la utilizando o método de integração por partes:

O que fizemos até aqui? Iniciamos a integração por partes. Depois, utilizamos uma propriedade trigonométrica: cos^2-1=sen^2. Daqui, iremos para o próximo passo: isolar o cos^2.

 

Com este resultado, podemos fazer as substituições necessárias. Não podemos esquecer a fração isolada no início do exercício: 1/216 vezes 1/2 encontrado agora nos dará a constante 1/432.

 

Pronto, encontramos a resposta!

Conclusão: Uau, exercício bem difícil! Mas é bem didático, pois utilizamos dois métodos de integração. Este é o tipo de exercício que vale a pena ser refeito por várias vezes: após o domínio deste exercício, os exercícios similares ficarão muito fáceis … este é realmente um osso duro de roer.