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julho 3, 2009

Exercício (1) de Cálculo – Integral – Substituição Trigonométrica

Arquivado em: Cálculo — mauromartins @ 2:05 am
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Exercício: Resolvendo uma integral, utilizando o método da substituição Trigonométrica.

Conhecimento Necessário: Métodos de integração: Substituição Trigonométrica e Integração por Partes.

Material de Apoio Necessário: Tabela de Integrais, Derivadas e Trigonometria (seção Downloads).

Exercício: Resolva a integral indefinida abaixo.

ex 1 calculo

 

Esta integral é resolvida utilizando o étodo da substituição trigonométrica. De acordo com a tabela, vemos que, neste caso, a função é do tipo (a+x), onde o x será tangente de theta e o dx, secante^2 de theta. (estou famoso no exercício! hehe).

Temos que desenvolver a substituição trigonométrica, após isto, voltarmos a função para o x. Vamos iniciar este passo trabalhando com a substituição (e um bom conhecimento em trigonometria!):

ex 1 calculo triangulo subs trigonometrica

ex 1 calculo parte2

O que fizemos até aqui? Seguindo a tabela, vimos qual era o x e o dx. Desenvolvemos a parte debaixo da equação, e o dx foi achado pela tabela. Após este passo, vamos calcular a equação, em theta, para depois voltarmos ao x.

ex 1 calculo parte3

Aqui, desenvolvemos a integral. Vamos deixar a constante fracionária de lado e nos concentrar na parte realmente difícil, a integral do cos^2 ! Iremos resolvê-la utilizando o método de integração por partes:

ex 1 calculo parte4

O que fizemos até aqui? Iniciamos a integração por partes. Depois, utilizamos uma propriedade trigonométrica: cos^2-1=sen^2. Daqui, iremos para o próximo passo: isolar o cos^2.

ex 1 calculo parte5

 

Com este resultado, podemos fazer as substituições necessárias. Não podemos esquecer a fração isolada no início do exercício: 1/216 vezes 1/2 encontrado agora nos dará a constante 1/432.

ex 1 calculo parte6

 

Pronto, encontramos a resposta!

Conclusão: Uau, exercício bem difícil! Mas é bem didático, pois utilizamos dois métodos de integração. Este é o tipo de exercício que vale a pena ser refeito por várias vezes: após o domínio deste exercício, os exercícios similares ficarão muito fáceis … este é realmente um osso duro de roer.

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22 Comentários »

  1. cos²u = [cos(2u) + 1]/2

    Comentário por Franklin — julho 3, 2009 @ 4:50 am | Responder

  2. só acho que sai mais rápido usando isso que eu coloquei.
    isso sai fazendo:
    cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sen(a)sen(b) => cos(2a) = cos²a – sen²a => cos²a = cos(2a) + sen²a
    sabendo que sen²a + cos²a = 1 => sen²a = 1 – cos²a
    subtituindo na primeira fórmula:
    cos²a = cos(2a) + 1 – cos²a => 2cos²a = 1 + cos(2a) => cos²a = [cos(2a) + 1]/2

    dá pra fazer algo parecido com o sen²x
    cos(2a) = cos(2a) = cos²a – sen²a
    cos²a = 1 – sen²a
    1 – 2sen²a = cos(2a) => sen²a = [1 - cos(2a)]/2

    Abraços

    Comentário por Franklin — julho 6, 2009 @ 1:42 am | Responder

  3. o WolframAlpha usa o mesmo critério do Franklin…Bem interressante este site. Quem dera tivesse algo parecido quando eu fazia engenharia. Me salvaria alguns gigabytes de Matlab do meu pobre micro…

    http://www93.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F%2836%2Bx^2%29^2

    Comentário por Rodrigo Martins — julho 6, 2009 @ 1:47 pm | Responder

  4. http://www93.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F%2836%2Bx%5E2%29%5E2

    Rodrigo, eu peguei o link do Wolfram que você disponibilizou, mas ele quebrou. Completei a integral e deu a mesma forma do Franklin, e esta forma que eu encontrei na forma alternativa. Portanto, provavelmente eu utilizei um caminho mais longo! Obrigado pelo link do Wolfram.

    Franklin, realmente, sua forma sai muito mais rápida! Eu não conhecia! Obrigado por compartilhar o conhecimento. Não quer colaborar com artigos, nao? ;) Abraço ! (isso vale pra você também, Rodrigo!)

    Comentário por mauromartins — julho 6, 2009 @ 5:01 pm | Responder

  5. o grande problema para os alunos em matematica é o calculo diferencial e integral

    Comentário por francisco augusto de freitas — agosto 17, 2009 @ 4:10 pm | Responder

  6. preciso de uma tabela de trigonometria FRACIONADA

    Comentário por ADEMIR DUTRA DA SILVA — setembro 29, 2009 @ 12:49 pm | Responder

  7. eu gosto de Deus e amo minha familia adoro aquele que me adora

    Comentário por gabriela — novembro 16, 2009 @ 8:22 pm | Responder

  8. adoro vc lai beijosss

    Comentário por laiane araujo de jesus — novembro 16, 2009 @ 8:24 pm | Responder

  9. Olá, muito bom o exercício, bem explicado!
    Peço que coloques mais exercícios bem explicadinhos como esse utilizando os outros métodos(substituição, por partes, artifícios,etc..)!
    Obrigada!
    Grande abraço!

    Comentário por Janice — novembro 29, 2009 @ 5:09 am | Responder

  10. preciso de exercicicos com calculo de trignometria do 1° do segundo grau POR FAAAAAAAAAVOOORRR!!!

    Comentário por Isabela — dezembro 4, 2009 @ 9:38 am | Responder

  11. Parabéns pela resolução, bastante ditático. Me foi bastante útil. Grande abraço!

    Comentário por Claudio Pereira — abril 23, 2010 @ 6:02 pm | Responder

  12. adorei a explanacao do exercicio, deu para percebar mais sobre integracao por parte. gostaria de ter uma dica, como dominar exercicios de integral.

    Comentário por amimo — maio 28, 2010 @ 10:45 am | Responder

  13. eu gostei dos exercicios mas tenho ainda problemas na resolucao nao sei se a uma forma de me fazer compreender de forma clara por que eu querro compreender mas muito bem mesmo.

    Comentário por mateus afonso — outubro 25, 2010 @ 8:21 am | Responder

  14. eu gostei de todos os exercicios e sao de extrema importancia pra pessoas como eu mas ainda ha um problema muito grve acho eu ainda nao concigo resolver de forma perfeita quando o tema for integralpesso a vossa ajuda

    Comentário por mateus afonso — outubro 25, 2010 @ 8:25 am | Responder

  15. Estou com uma dúvida na resolução da seguinte Integral:∫Senθ/(5-Cosθ)^3.
    Quero entender o método da substituição.

    Obrigado.

    Comentário por Júlio César de Oliveira — dezembro 10, 2010 @ 4:53 pm | Responder

    • Seguinte colega: Primeiro faça a seguinte substituição: u = -cosx => du = senxdx. Depois faça outra substituição, chamando w = 5 + u => dw = du.
      Fazendo os calculos você chega na seguinte resposta: -1/2(5-cox}^2 + c. É isso aí. bye.

      Comentário por ANTONIO RODRIGUES DO AMARAL — janeiro 1, 2011 @ 5:04 pm | Responder

  16. acho que devem melhorar nas explicacao dos exrecicios

    Comentário por filipe — outubro 18, 2011 @ 11:14 am | Responder

  17. OH! Gosteii muitooo vlw (Y) :D
    Mas gostaria de ver um exemplo onde o numerador fosse diferente de 1…
    Dese já, Tanhk’s;;;;;

    Comentário por Erika Costa' (@erikacosta26) — outubro 20, 2011 @ 1:50 pm | Responder

    • Erika,
      É só isolar o numerador no início do desenvolvimento, e multiplicar por ele no final.

      Comentário por mauromartins — novembro 29, 2011 @ 6:09 pm | Responder

  18. Gostei muito do exercicio

    Comentário por Emilio Afonso Madureira — novembro 1, 2012 @ 7:22 pm | Responder


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